正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体一共只有5个，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，最早由古希腊哲学家柏拉图发现，所以也称柏拉图多面体。空间多面体由顶点、面、棱组成，数量记为V、F、E，长城欧拉证明了对于任意简单多面体都有V+F-E=2，这个恒等式成立，它被称之为多面体欧拉恒等式，正多面体也适用。除了这些凸正多面体，还存在非凸正多面体、抽象正多面体和复合正多面体等其他类型的正多面体。

内容介绍

仅有的五种正多面体，即是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

所谓正多面体，当然要首先保证它是一个多面体，而它的特殊之处就在于它的每一个面都是正多边形，而且各个面的正多边形都是全等的。也就是说，将正多面体的各个面剪下来，它们可以完全重合。虽然多面体的家族很庞大．可是正多面体的成员却很少，仅有五个。

正四面体是由四个全等的等边三角形组成的；正六面体是由六个全等的正方形组成的；正八面体是由八个全等的等边三角形组成的；正十二面体是由十二个全等的正五边形组成的；正二十面体是由二十个全等的等边三角形组成的。

正多面体的各种参数如下表所示。

种类

只有五种多面体是正多面体。

证明如下：设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n边形，多面体的顶点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以

因为两个相邻顶点有一公共棱，所以

又因多面体的Euler定理，得，从上面三式可得

要使得上面的式子成立，必须满足，即。因为，所以

于是。

所以正多面体只有上述五种。

性质

由正多面体可得到如下几何性质：

1.如果两个正多面体是同类型的正多面体，那么这两个正多面体的二面角都相。

2.正多面体的外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合。

3.正多面体的外心、内心、内棱心重合的点称为该正多面体的中心。

4.正多面体除正四面体外过任顶点和正多面体中心的直线必然经过正多面体的另一顶点，并且这两个顶点到正多面体中心的距离都相等。

5.除正四面体外，连线经过正多面体的f11心的两点称为相对顶点，连两双相对顶点的两条棱称为正多面体的对棱，由对棱围成的两个面称为正多面体的对面。

6.除正四面体外，正多面体的对棱、对面都平行。

广义的正多面体

20世纪出现了一系列关于正多面体概念的概括，导致了正多面体出现了几个新的种类。这些包括正扭歪无限面体、正扭歪多面体、位于非欧空间或其他空间的正多面体，如双曲空间的正多面体、实射影平面的正多面体、复数空间的正多面体和四元数空间的正多面体。这些正多面体在特定空间中维持其正的特性，展现出多样化的几何结构和对称性。

抽象正多面体是一种抽象代数概念的发展，它们是元素偏序关系的概念，可以映射到普通空间或具体化成一个几何形状。一些抽象多面体具有良好具像化实例，但不一定所有的抽象多面体都能找到对应的具像化实例。抽象多面体与一般的多面体同样可以定义标记。若一抽象多面体的组合对称性可以在其标记上传递，则这个抽象多面体为抽象正多面体。

柏拉图立体的皮特里对偶是一种正则地区图，其顶点和边对应于原始多面体的顶点和边，其面是扭歪皮特里多边形的集合。五个凸正多面体和四个星形多面体皆可以表示成球面多面体，或球面镶嵌。